www.fatihkabakci.com

Personal Website and Computer Science TUR EN

HOMOJEN KOORDINAT SISTEMI

Last update: 8/11/2012 2:55:00 PM

Yazan:Fatih KABAKCI

Homojen Koordinat Sistemi(Homogeneous Coordinate System) ilk olarak E.A.Maxwell tarafından 1946 yılında tasarlanmıştır.Bu sisteme göre,cisimler üzerinde uygulanan geometrik dönüşümlerin arka arkaya yapılabilmesi matematiksel anlamda çok esnek hale gelmiştir.Böylece cisimlerin koordinatları matris formunda yazılarak çarpım notasyonuna tabi tutulur ve cismin yeni şekli veya konumu elde edilmiş olur.

Kartezyen koordinat sisteminde bulunan bir cismin matris notasyonu ve koordinatları aşağıdaki gibidir.
Cisim A(x,y)
M[x,y]=cisimA[x,y]
Bu koordinatlara üçüncü bir bileşen eklenmesi boyut artımına sebeb olur ki,oluşan yeni sistem homojen koordinat sistemi adını alır.Aşağıda bu sistemin oluşumu görülmektedir.
Homojen koordinat sistemi yukarıda da bahsedildiği gibi,iki boyutlu kartezyen koordinat sistemine üçüncü bir boyut (z) eklenmesiyle oluşturulur.cisimA(x,y) koordinatları artık cisimA(x,y,z) üçlüsüne dönüşür.Dönüşüm için homojen koordinatlar bir h değerine bölünür veya kartezyen koordinatlar h değeriyle çarpılır.Bu sayede iki koordinat sistemi arasında bir ilişki oluşur.
cisimA(x,y)=cisimA(x2,y2,z)
z=h
x = x2/h
y = y2/h
cisimA(x,y)=cisimA(x2/h,y2/h,h)
cisimA[x,y]=cisimA[x,y,h]
Bu ilişkide kullanılan üçüncü koordinat bileşeni olan z,genel olarak literatürde h gösterimi ile ifade edilir ve 1 alınır.Çünkü dikkat edilirse iki boyutlu eksendeki bir noktanın,homojen koordinat ekseninde sonsuz gösterimi olacaktır.
Örneğin kartezyen koordinat sisteminde (x=1,y=2) koordinatlarına sahip bir cismin,
h=1 için (1,2)-(1,2,1)
h=2 için (1,2)-(2,4,2)
h=3 için (1,2)-(3,6,3)       
.......................
h=n için (1,2,3)-(n,2n,n)  
sonsuz sayıda bileşeni var olacaktır.Ayrıca dikkat edilirse bu bileşenlerin tümü ise kartezyen eksende birbirlerine eşit olacaktır.Yani (1,2,1) ile (2,4,2) konumları birbirinin aynısıdır.Dolayısıyla homojen koordinat sistemi,bir noktanın sonsuz sayıda karşılığını oluşturabilir.Bu nedenledir ki h bileşeninin 1 olarak seçilmesi bir takım matematiksel dönüşümlerin daha kolay yapılmasını sağlar.

h bileşeninin 0 olarak seçilmesi,iki boyutlu düzlemde bulunan bir noktanın,homojen koordinat sisteminde sonsuz da bulunacağını göstermektedir.Homojen koordinat sisteminin bir avantajıda budur.Ancak bu teorik olarak mümkündür.h'ın 0 olarak alınması (x,y) vektör doğrultusunda,sonsuz uzaklıkta olan bir nokta tanımlar(x/0,y/0,0).Bundan ötürü h bileşeninin 0 olarak seçilmesinin nedeni doğrultu belirtmek için kullanılır olmasıdır.

Homojen koordinat sisteminde (0,0,0) tanımsız bir noktadır.Bunun sebebi 0/0 belirsizliğinin meydana gelmesindendir.

Sonuçta,homojen koordinat sistemi afin dönüşümlerinin tamamının çarpımsal matris formunda uygulanabilirliğini sağlar.Ayrıca sonsuz sayıda ve sonsuzdaki noktaları tanımlama fırsatı verir.Geometrik dönüşümler için esnek bir hesaplama modeli getirdiği de tartışmasız su götürmez bir gerçektir.
MemberCommentDate:
guest
Analaşılır bir yazı olmuş, çok teşekkürler. Computer vision alanında da kullanılan bir koordinat sistemi, h olarak resim ile cisin arasındaki d uzaklığı alınıyor.

Halil
11/3/2016 9:57:00 AM

Name:


Question/Comment
   Please verify the image




The Topics in Computer Science

Search this site for





 

Software & Algorithms

icon

In mathematics and computer science, an algorithm is a step-by-step procedure for calculations. Algorithms are used for calculation, data processing, and automated reasoning.

Programming Languages

icon

A programming language is a formal constructed language designed to communicate instructions to a machine, particularly a computer. It can be used to create programs to control the behavior of a machine. Java,C, C++,C#

Database

icon

A database is an organized collection of data. The data are typically organized to model aspects of reality in a way that supports processes requiring information.

Hardware

icon

Computer hardware is the collection of physical elements that constitutes a computer system. Computer hardware refers to the physical parts or components of a computer such as the monitor, memory, cpu.

Web Technologies

icon

Web development is a broad term for the work involved in developing a web site for the Internet or an intranet. Html,Css,JavaScript,ASP.Net,PHP are one of the most popular technologies. J2EE,Servlet, JSP,JSF, ASP

Mobile Technologies

icon

Mobile application development is the process by which application software is developed for low-power handheld devices, such as personal digital assistants, enterprise digital assistants or mobile phones. J2ME

Network

icon

A computer network or data network is a telecommunications network that allows computers to exchange data. In computer networks, networked computing devices pass data to each other along data connections.

Operating Systems

icon

An operating system is software that manages computer hardware and software resources and provides common services for computer programs. The OS is an essential component of the system software in a computer system. Linux,Windows

Computer Science

icon

Computer science is the scientific and practical approach to computation and its applications.A computer scientist specializes in the theory of computation and the design of computational systems.